7.5 Simple and Physical Pendulum

AP Physics C: Mechanics · Unit 7 Oscillations

单摆是"最简单的摆"，复摆（物理摆）是"任何刚体挂起来摆"。前者是后者的特例——理解了转动形式的 $\tau = I\alpha$，这一节就只剩代入。

教学目标 Learning Outcomes

从 $\tau = I\alpha$ 推导单摆方程，说明小角近似为什么必要
写出单摆周期 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$，并解释它与质量无关
掌握物理摆（复摆）公式 $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$，$I$ 必须取绕转轴的转动惯量
用平行轴定理处理杆、圆环、圆盘绕端点/边缘摆动
认识等效摆长 $L_{\text{eq}} = I/(md)$ 与扭摆 $T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}$

一、单摆的推导

长 $L$ 的轻绳一端固定，另一端挂质量 $m$ 的摆球，摆角 $\theta$。

力矩（对悬点）：只有重力的切向分量产生力矩，

$$\tau = -mgL\sin\theta$$

负号表示力矩总是把摆球拉回竖直位置。

转动方程：摆球绕悬点的转动惯量 $I = mL^2$，

$$mL^2\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgL\sin\theta$$

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$

小角近似

这条方程不是简谐的——右边是 $\sin\theta$ 而不是 $\theta$。只有当 $\theta$ 很小时（$\theta \lesssim 10^\circ$，此时 $\sin\theta \approx \theta$ 误差小于 $0.5\%$）：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\theta$$

对照 $\ddot\theta = -\omega^2\theta$，读出

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

为什么与质量无关

推导中 $m$ 在两边同时出现、被约掉了：重力提供的回复力矩 $\propto m$，而惯性 $I \propto m$，两者同步变化。物理上就是"引力质量 = 惯性质量"的直接后果。

大角度时会发生什么

$\sin\theta < \theta$，实际回复力矩比线性预测的小，所以摆动更慢、周期更长。经验修正：

$$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$$

$\theta_0 = 15^\circ = 0.262\ \mathrm{rad}$ 时修正约 $0.4\%$；$\theta_0 = 30^\circ$ 时约 $1.7\%$。AP 通常只在概念题里问"周期变大还是变小"。

二、物理摆（复摆）Physical Pendulum

任意刚体绕不通过质心的水平轴摆动，质心到轴的距离为 $d$：

$$\tau = -mgd\sin\theta, \qquad I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgd\sin\theta$$

小角下：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{mgd}{I}\theta \;\Longrightarrow\; \omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$

三个必须记住的细节：

$I$ 是绕转轴（悬点）的转动惯量，不是绕质心的
$d$ 是质心到转轴的距离，不是物体长度
与质量无关（$m$ 在 $I$ 与 $mgd$ 中同阶出现时通常抵消）

等效摆长

把物理摆"折成"一个单摆，令 $T = 2\pi\sqrt{L_{\text{eq}}/g}$，得

$$L_{\text{eq}} = \frac{I}{md}$$

注意 $L_{\text{eq}} \ge d$，且一般不等于物体的几何长度。

平行轴定理怎么用

$$I_{\text{pivot}} = I_{\text{cm}} + md^2$$

这是物理摆题的必经一步。先算绕质心，再平移到转轴。

三、四个必须背下来的结果

刚体	转轴	$I_{\text{pivot}}$	$T$
单摆（质点）	绳端，$d=L$	$mL^2$	$2\pi\sqrt{L/g}$
均匀细杆，长 $L$	一端，$d = L/2$	$mL^2/3$	$2\pi\sqrt{2L/(3g)}$
细圆环，半径 $R$	环上一点，$d=R$	$2mR^2$	$2\pi\sqrt{2R/g}$
均匀圆盘，半径 $R$	边缘一点，$d=R$	$\tfrac{3}{2}mR^2$	$2\pi\sqrt{3R/(2g)}$

比较一下系数：单摆 $1$、杆 $2/3$、圆环 $2$、圆盘 $3/2$。同一个"长度尺度"下，质量分布越靠外，$I$ 越大，摆得越慢。

杆绕质心转轴时 $d = 0$，回复力矩为零，不振动——这是判断"能不能摆"的快速检验。

四、扭摆 Torsion Pendulum

一根丝悬挂一个刚体，扭转 $\theta$ 时产生回复力矩 $\tau = -\kappa\theta$（$\kappa$ 为扭转常数）：

$$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\kappa\theta \;\Longrightarrow\; \omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}$$

它与重力无关，可用来在失重环境下测转动惯量——AP 有时把它当"类比推理"题出现。

五、例题 Worked Examples

例 1：均匀细杆绕一端

长 $L = 1.0\ \mathrm{m}$ 的均匀细杆，一端为轴在竖直平面内摆动。求周期。

解 $I = mL^2/3$，$d = L/2$：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{mL^2/3}{mg(L/2)}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{2(1.0)}{3(9.8)}} = 2\pi\sqrt{0.0680} \approx 1.6\ \mathrm{s}$$

对比同长度单摆（$2.0\ \mathrm{s}$）：杆摆得更快，因为质量更多集中在靠近轴的一端，$I$ 相对小。

例 2：圆环绕边缘一点

半径 $R = 0.20\ \mathrm{m}$ 的细圆环，挂在环上一点。求周期。

解平行轴定理：$I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$，$d = R$：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.40}{9.8}} \approx 1.3\ \mathrm{s}$$

例 3：杆的转轴位置

上例的杆改为绕距质心 $d$ 的点摆动（$d < L/2$）。求 $T(d)$，并说明 $d \to 0$ 时会发生什么。

解 $I = mL^2/12 + md^2$：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L^2/12 + d^2}{gd}}$$

当 $d \to 0$，分子趋于 $L^2/12$ 而分母趋于 $0$，$T \to \infty$——回复力矩消失，不再振动。$T$ 关于 $d$ 先减后增，在 $d = L/\sqrt{12} = L/(2\sqrt3)$ 处取最小值。

六、AP 常见失分点 Common Mistakes

物理摆用绕质心的 $I$：必须先用平行轴定理平移到转轴
把 $d$ 当成物体长度：$d$ 是质心到轴的距离
单摆把摆球质量代入：$T$ 与 $m$ 无关
大角度仍用 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$：$\theta$ 超过约 $15^\circ$ 后周期明显变长
混淆"周期变长"与"振幅变大"：大角度下振幅大、周期也长，但两者不是线性关系
扭摆混用 $\kappa$ 与 $k$：$\kappa$ 是扭转常数（N·m/rad），不是弹簧劲度系数

小结 Summary

单摆：$\ddot\theta = -(g/L)\sin\theta$，小角下 $\omega = \sqrt{g/L}$，$T = 2\pi\sqrt{L/g}$
与质量无关；大角度周期变长
物理摆：$\omega = \sqrt{mgd/I}$，$T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$，$I$ 绕转轴
平行轴定理 $I = I_{\text{cm}} + md^2$ 是必经步骤
等效摆长 $L_{\text{eq}} = I/(md)$
扭摆 $T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}$，与 $g$ 无关

课后练习 Homework

半径 $R$ 的均匀圆盘挂在边缘一点摆动，求周期；再求与它等周期的单摆摆长。
长 $L$ 的杆绕一端摆动，振幅为 $5^\circ$ 与 $30^\circ$ 时周期各为多少？用修正公式估算差值百分比。
一物理摆由两个相同小球（各 $m$）用长 $L$ 的轻杆连接组成，绕一端摆动。求 $I$、$d$ 与 $T$。