1.1 Displacement, Velocity and Acceleration
AP Physics C: Mechanics · Unit 1 Kinematics
本节是整个力学的地基：后面所有动力学（Newton's laws）、能量、动量，都要靠这里建立起来的"运动描述"语言。
教学目标 Learning Outcomes
- 区分 distance / displacement、speed / velocity，并能说清"为什么平均速度不等于平均速率"
- 用极限定义写出 $v=\dfrac{dx}{dt}$、$a=\dfrac{dv}{dt}$，并解释其几何意义（斜率）
- 在 $x\text{-}t$、$v\text{-}t$、$a\text{-}t$ 三种图像之间自由切换：斜率 → 求导，面积 → 积分
- 判断"加速度为负"是否等于"减速"
- 熟练使用四个匀变速公式，并清楚它们只在 $a$ 为常量时成立
一、位置、位移与路程
1. Position（位置）
物体在坐标系中的坐标，记作 $x(t)$。位置的数值依赖坐标原点与正方向的选择，所以位置是相对的。
2. Displacement（位移）vs Distance（路程）
| 比较项 | Displacement 位移 $\Delta x$ | Distance 路程 $d$ |
|---|---|---|
| 定义 | 位置的变化：$\Delta x = x_2 - x_1$ | 实际走过的路径总长度 |
| 性质 | 矢量，有正负 | 标量，恒为非负 |
| 依赖路径 | 不依赖 | 依赖 |
| 往返运动 | 可以为零 | 一定大于零 |
一句话记法：位移只看"起点到终点"，路程只看"脚走了多远"。
典型陷阱：一个人绕操场跑完一整圈回到原点，位移为 $0$，路程为 $400\ \mathrm{m}$。AP 选择题经常用这个区分来卡人。
二、速度 Velocity
1. 平均速度 Average Velocity
$$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$
注意分子是位移，不是路程。因此平均速度可以为负，也可能为零。
2. 平均速率 Average Speed
$$\text{average speed} = \frac{d}{\Delta t}$$
分子是路程。除非物体始终沿同一方向运动，否则 average speed $\ne |\bar{v}|$。
3. 瞬时速度 Instantaneous Velocity
当 $\Delta t \to 0$ 时，平均速度的极限就是瞬时速度：
$$v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$
几何意义：$x\text{-}t$ 图像上某点切线的斜率。
- 斜率为正 → $v > 0$，向正方向运动
- 斜率为负 → $v < 0$，向负方向运动
- 斜率为零 → 瞬间静止（但加速度不一定为零，例如上抛到最高点）
三、加速度 Acceleration
1. 定义
$$\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$
加速度是速度变化的快慢，不是"速度大"。
2. 符号怎么读
这是学生最容易错的地方。判断加速还是减速，要看 $a$ 与 $v$ 的方向关系，而不是 $a$ 本身的正负：
- $a$ 与 $v$ 同号 → 速度大小在增加（加速）
- $a$ 与 $v$ 异号 → 速度大小在减小（减速）
- $a = 0$ → 速度不变（匀速）
反例：$v = -8\ \mathrm{m/s}$、$a = -2\ \mathrm{m/s^2}$，加速度是负的，但物体正在加速（向负方向越跑越快）。
3. 常见误区清单
| 错误说法 | 为什么错 |
|---|---|
| "加速度为负就是减速" | 要看 $v$ 的方向；$v$ 也为负时是加速 |
| "速度为零，加速度一定为零" | 上抛最高点 $v=0$，但 $a=-g$ |
| "加速度减小，速度就减小" | $a$ 减小只表示速度变化变慢；只要 $a$ 与 $v$ 同号，速度仍在增大 |
四、三种图像的翻译表
把图像关系记成一句话：斜率是求导，面积是积分。
| 图像 | 斜率的意义 | 面积的意义 |
|---|---|---|
| $x\text{-}t$ | 速度 $v$ | 无物理意义 |
| $v\text{-}t$ | 加速度 $a$ | 位移 $\Delta x$（横轴下方的面积为负） |
| $a\text{-}t$ | 加速度的变化率（jerk） | 速度变化 $\Delta v$ |
因此有两条常考结论：
$$v(t) - v(0) = \int_0^t a\,dt \qquad x(t) - x(0) = \int_0^t v\,dt$$
用面积算位移时，横轴以下的面积要算负值。很多学生直接把图形面积当路程，这是 $v\text{-}t$ 图像题最常见的失分点。
五、匀变速直线运动 Kinematics with Constant Acceleration
当 $a$ 为常量时，对 $a = \dfrac{dv}{dt}$ 积分两次，得到四个公式：
$$v = v_0 + at$$
$$\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$$
$$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$$
$$\Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,t$$
使用前提：加速度恒定。如果题目里 $a$ 随 $t$ 或 $x$ 变化（例如空气阻力、弹簧力），这四个公式全部作废，必须回到微积分定义。
选择技巧：
- 不涉及时间 $t$ → 用 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$
- 不涉及末速度 $v$ → 用 $\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$
- 不涉及加速度 $a$ → 用 $\Delta x = \tfrac{v_0+v}{2}t$
六、自由落体 Free Fall
忽略空气阻力时，所有物体都以同一加速度下落：
$$a = -g \approx -9.8\ \mathrm{m/s^2}$$
- 取向上为正时 $a = -9.8$；取向下为正时 $a = +9.8$。选哪个都行，但一旦选定，全程不能改
- 竖直上抛：最高点 $v = 0$，但 $a = -g$ 依然存在
- 上升时间 = 下降时间（回到同一高度时），速率相等、方向相反
七、例题 Worked Examples
例 1：位移与路程不是一回事
质点沿 $x$ 轴运动，位置函数为
$$x(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4 \quad (\mathrm{m})$$
求：(a) $v(t)$、$a(t)$；(b) $t = 0$ 到 $t = 3\ \mathrm{s}$ 的位移；(c) 同一时间段内的路程。
解
(a) 求导：
$$v = \frac{dx}{dt} = 6t^2 - 12t = 6t(t-2), \qquad a = \frac{dv}{dt} = 12t - 12$$
(b) 位移只看到达点：
$$x(0) = 4,\quad x(3) = 2(27) - 6(9) + 4 = 4$$
$$\Delta x = x(3) - x(0) = 0\ \mathrm{m}$$
(c) 但 $v = 0$ 发生在 $t = 0$ 和 $t = 2$，说明 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内物体先反向：
$$x(2) = 2(8) - 6(4) + 4 = -4\ \mathrm{m}$$
分段求路程：
$$d = |-4 - 4| + |4 - (-4)| = 8 + 8 = 16\ \mathrm{m}$$
结论：位移 $0$，路程 $16\ \mathrm{m}$。这一问就是"位移与路程"区别的标准考法。
例 2：刹车问题
汽车以 $30\ \mathrm{m/s}$ 行驶，司机刹车后 $5.0\ \mathrm{s}$ 停止。求加速度与刹车距离。
解 取运动方向为正：
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{0 - 30}{5.0} = -6.0\ \mathrm{m/s^2}$$
$$\Delta x = \frac{v_0 + v}{2}t = \frac{30 + 0}{2}\times 5.0 = 75\ \mathrm{m}$$
例 3：竖直上抛
小球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 竖直向上抛出，取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，求最大高度与落回原点所需时间。
解 取向上为正，$a = -9.8\ \mathrm{m/s^2}$。最高点 $v = 0$：
$$0 = v_0^2 - 2gh \;\Rightarrow\; h = \frac{20^2}{2 \times 9.8} \approx 20.4\ \mathrm{m}$$
落回原点时位移为零，用 $\Delta x = v_0 t - \tfrac{1}{2}gt^2 = 0$：
$$t = \frac{2v_0}{g} = \frac{40}{9.8} \approx 4.1\ \mathrm{s}$$
八、AP 常见失分点 Common Mistakes
- 把平均速度当成平均速率：往返运动时二者差别巨大
- $v\text{-}t$ 图像求位移时忘记负面积
- 认为"$a<0$ 就是减速"：必须先看 $v$ 的方向
- 在 $a$ 不恒定时硬套四个公式：AP C 的计算题常故意给变加速（如 $a = -kv$），此时必须积分
- 单位与符号混乱：$g$ 取 $9.8$ 还是 $10$，题目通常给，但方向符号要自己定
小结 Summary
- 位移是矢量，路程是标量；平均速度用位移，平均速率用路程
- $v = \dfrac{dx}{dt}$，$a = \dfrac{dv}{dt}$：图像上就是切线斜率
- 图像面积：$v\text{-}t$ 下面积是位移，$a\text{-}t$ 下面积是速度变化
- 四个匀变速公式只在 $a$ 恒定时有效
- 判断加速/减速，看 $a$ 与 $v$ 是否同号
课后练习 Homework
- 一质点沿直线运动，$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$（$\mathrm{m/s}$）。求 $t = 0 \to 4\ \mathrm{s}$ 的位移与路程。
- 从 $45\ \mathrm{m}$ 高处自由释放一小球，求落地时间与落地速度（$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$）。
- 已知 $a(t) = 6t$（$\mathrm{m/s^2}$），初速度 $v(0) = 2\ \mathrm{m/s}$，初位置 $x(0) = 0$。求 $v(t)$ 与 $x(t)$，并说明为什么不能直接用匀变速公式。