1.2 Motion in One Dimension

AP Physics C: Mechanics · Unit 1 Kinematics

1.1 解决的是"概念怎么定义"，这一节解决"题怎么算"。核心是一套决策流程：看到题先判断 $a$ 是否恒定，再决定用公式还是用积分。

教学目标 Learning Outcomes

由 $a=\dfrac{dv}{dt}$ 积分推出四个运动学公式，理解它们的适用条件
建立"选公式"的决策流程，避免在已知量里瞎试
在 $x\text{-}t$、$v\text{-}t$、$a\text{-}t$ 三种图像之间互相转换，用面积和斜率求解
处理分段运动（反应时间 + 刹车、电梯升降）
处理变加速运动：$a$ 随 $t$、随 $v$ 或随 $x$ 变化时的积分技巧

一、四个公式从哪里来

从加速度定义出发，两边对时间积分：

$$a = \frac{dv}{dt} \;\Longrightarrow\; \int_{v_0}^{v} dv = \int_0^t a\,dt$$

因为 $a$ 是常量，可以提到积分号外：

$$v = v_0 + at \tag{1}$$

再对速度积分一次：

$$\int_{x_0}^{x} dx = \int_0^t (v_0 + at)\,dt \;\Longrightarrow\; \Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2 \tag{2}$$

把 (1) 解出 $t=\dfrac{v-v_0}{a}$ 代入 (2)，消去时间：

$$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x \tag{3}$$

由 (1) 与 (2) 消去 $a$，或直接对匀变速取平均速度：

$$\Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,t \tag{4}$$

记住这四个公式的共同前提：$a$ 恒定。它们不是"运动学公式"，而是"匀变速运动学公式"。

二、选公式的决策流程

每题只做三步：

列已知量：$v_0,\ v,\ a,\ t,\ \Delta x$ 里已知哪三个？
找所求量：要求哪一个？
选不含"多余那个"的公式

缺的量	用哪个公式
缺 $t$	$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$
缺 $v$	$\Delta x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
缺 $a$	$\Delta x = \frac{v_0+v}{2}t$
缺 $\Delta x$	$v = v_0 + at$

经验：AP 选择题里，凡是没给时间也不问时间的题，几乎都是用 (3) 式。看到"求速度与距离的关系"，条件反射写 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$。

三、图像法：比公式更快

三条铁律：

$x\text{-}t$ 图的斜率 = 速度
$v\text{-}t$ 图的斜率 = 加速度，面积 = 位移
$a\text{-}t$ 图的面积 = 速度变化

做图像题的标准动作：

先标出斜率突变点（加速度改变的时刻），把图分段
每一段单独判断运动性质（匀速 / 匀加速 / 静止）
用面积求位移时，横轴以下的面积记负

$v\text{-}t$ 图中"两条线相交"只表示速度相同，不表示相遇。相遇要看面积（位移）是否相等。

四、自由落体与竖直上抛

统一取向上为正，则 $a=-g$，四个公式照用，只要把 $a$ 换成 $-g$：

$$v = v_0 - gt,\qquad y = v_0t - \tfrac{1}{2}gt^2,\qquad v^2 = v_0^2 - 2gy$$

三个常用结论：

最高点：$v=0$，$h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$
回到出发点：$t=\dfrac{2v_0}{g}$，速度 $-v_0$
任意高度 $y$ 处的速率只与 $|y|$ 有关，与上升还是下降无关

自由落体不是"一种特殊运动"，它就是 $v_0=0$、$a=-g$ 的匀变速直线运动。别单独背公式。

五、分段运动：一段一段来

真实题目常常是"先匀速后减速"或"先加速再匀速"。处理方法固定：

画时间轴，标出每个阶段的起止时刻
每一段重新设 $v_0$（用上一段的末速度）
各段位移代数相加

例 1：反应时间 + 刹车

司机以 $20\ \mathrm{m/s}$ 匀速行驶，反应时间 $0.70\ \mathrm{s}$，之后以 $5.0\ \mathrm{m/s^2}$ 匀减速。求从发现情况到停止的总位移。

解

第一阶段（反应时间内匀速）：

$$x_1 = vt = 20 \times 0.70 = 14\ \mathrm{m}$$

第二阶段（匀减速到停止，$v_0=20$，$v=0$，$a=-5.0$）：

$$x_2 = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{0 - 400}{2(-5.0)} = 40\ \mathrm{m}$$

$$x_{\text{total}} = 14 + 40 = 54\ \mathrm{m}$$

这类题最容易错在把反应时间也算进减速阶段。反应时间内踩不到刹车，是匀速。

六、变加速：公式全部作废

当 $a$ 不是常量时，只能回到定义积分。按 $a$ 的自变量分三种情形：

情形 1：$a = a(t)$

$$v = v_0 + \int_0^t a\,dt,\qquad x = x_0 + \int_0^t v\,dt$$

情形 2：$a = a(v)$（如空气阻力 $a=-kv$）

用 $\dfrac{dv}{dt}=a(v)$ 分离变量：

$$\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{a(v)} = \int_0^t dt$$

情形 3：$a = a(x)$（如弹簧力）

用链式法则换元，这一步是 AP C 的高频技巧：

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}$$

于是

$$\int_{v_0}^{v} v\,dv = \int_{x_0}^{x} a(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 = \int_{x_0}^{x} a\,dx$$

例 2：$a$ 随位置变化

质点从静止出发沿 $x$ 轴运动，加速度 $a = 4x$（$\mathrm{m/s^2}$，$x$ 以 m 计）。求 $x = 3\ \mathrm{m}$ 处的速度。

解用 $v\,dv = a\,dx$：

$$\int_0^v v\,dv = \int_0^3 4x\,dx$$

$$\frac{v^2}{2} = 2x^2\Big|_0^3 = 18 \;\Longrightarrow\; v = 6\ \mathrm{m/s}$$

注意：这道题不能用 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$，因为 $a$ 在变。若误把 $a$ 当成 $x=3$ 时的 $12\ \mathrm{m/s^2}$ 代入，会得到 $v \approx 8.5\ \mathrm{m/s}$，是典型错解。

七、例题 Worked Examples

例 3：图像题

一质点沿直线运动，其 $v\text{-}t$ 图：$0\sim 2\ \mathrm{s}$ 从 $0$ 线性增到 $8\ \mathrm{m/s}$；$2\sim 5\ \mathrm{s}$ 保持 $8\ \mathrm{m/s}$；$5\sim 7\ \mathrm{s}$ 线性减到 $-4\ \mathrm{m/s}$。

求：(a) 各段加速度；(b) $0\sim 7\ \mathrm{s}$ 的位移与路程；(c) 何时离出发点最远。

解

(a) 斜率：

$$a_1 = \frac{8-0}{2}=4\ \mathrm{m/s^2},\quad a_2 = 0,\quad a_3=\frac{-4-8}{2}=-6\ \mathrm{m/s^2}$$

(b) 面积：

$$x_1 = \tfrac{1}{2}(2)(8)=8,\quad x_2 = 3\times 8 = 24,\quad x_3 = \tfrac{1}{2}(2)(8 + (-4)) = 4$$

$$\Delta x = 8+24+4 = 36\ \mathrm{m}$$

第三段速度由 $8$ 降到 $0$ 再反向到 $-4$，全程同向（先正后负？）——注意 $5\sim 7\ \mathrm{s}$ 内速度由 $+8$ 变到 $-4$，在 $t=6.33\ \mathrm{s}$ 过零，因此该段位移 $+4\ \mathrm{m}$ 是净值。求路程需拆开：

$$x_{3a}=\tfrac{1}{2}(1.33)(8)\approx 5.33,\quad x_{3b}=\tfrac{1}{2}(0.67)(4)\approx 1.33$$

$$d = 8+24+5.33+1.33 \approx 38.7\ \mathrm{m}$$

这题的关键动作：看到 $v$ 过零就拆段。只要 $v$ 变号，位移与路程就不再相等。

例 4：追及问题

甲车以 $15\ \mathrm{m/s}$ 匀速行驶，经过路边静止的乙车时，乙车立即以 $3.0\ \mathrm{m/s^2}$ 匀加速追赶。求乙车追上甲车所需时间与追上时的速度。

解追上时位移相等：

$$15t = \tfrac{1}{2}(3.0)t^2 \;\Longrightarrow\; t(1.5t - 15)=0$$

$t=0$ 是出发瞬间，取 $t = 10\ \mathrm{s}$。

$$v = at = 3.0\times 10 = 30\ \mathrm{m/s}$$

追及问题统一套路：写两个位移表达式，令其相等。不要试图用相对速度硬想。

八、常见失分点 Common Mistakes

公式混用：把 $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ 用在变加速题里
分段时忘记重置 $v_0$：第二段的初速度是上一段的末速度
$v\text{-}t$ 面积求路程：横轴下方没算负，或没拆段
符号系统中途改变：一开始取向上为正，后面又按向下算
反应时间当成减速阶段

小结 Summary

四个公式都由 $a=\text{const}$ 积分而来，前提丢了就全错
选公式靠"缺哪个量"，不是靠试
图像：斜率求导，面积积分，$v$ 过零必拆段
变加速三招：$a(t)$ 直接积、$a(v)$ 分离变量、$a(x)$ 用 $v\,dv=a\,dx$
追及/相遇：位移表达式相等

课后练习 Homework

汽车以 $12\ \mathrm{m/s}$ 行驶，刹车加速度 $4.0\ \mathrm{m/s^2}$。求刹车距离与刹车后 $4.0\ \mathrm{s}$ 内的位移（注意车是否已停）。
一物体 $a = -2v$（$\mathrm{m/s^2}$），$v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$。求 $v(t)$ 及速度减半所需时间。
从 $h$ 高处自由落体，最后 $1\ \mathrm{s}$ 内下落 $25\ \mathrm{m}$，求 $h$（$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$）。