1.3 Motion in Two Dimensions

AP Physics C: Mechanics · Unit 1 Kinematics

二维运动的全部秘密只有一句话：水平和竖直互不干扰，只共享同一个时间 $t$。

教学目标 Learning Outcomes

把速度、加速度分解为 $x$、$y$ 两个独立分量，写出两套方程
掌握抛体运动的三段式解法：分解 → 分别处理 → 用 $t$ 合并
推导并会用：飞行时间、最大高度、射程、轨迹方程
理解"互补角同射程"与"射程最大在 $45^\circ$"的适用条件
处理水平抛射与斜面上的抛体

一、矢量复习：分解与合成

任意矢量 $\vec{v}$ 可写成两个垂直分量：

$$v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta$$

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2},\qquad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x}$$

其中 $\theta$ 是矢量与 $x$ 轴正方向的夹角。这一步一定要画图确认 $\theta$ 标在哪里，角度取错是抛体题的第一大错源。

二、独立性原理

二维运动的加速度可以分解：

$$\vec{a} = a_x\hat{\imath} + a_y\hat{\jmath}$$

两个方向各自满足一维运动学规律，唯一的联系是时间 $t$：

方向	加速度	运动性质
水平 $x$	$a_x = 0$（抛体）	匀速直线
竖直 $y$	$a_y = -g$	匀变速直线

这就是"平抛和自由落体同时落地"的原因：竖直方向根本不知道水平方向发生了什么。

三、抛体运动 Projectile Motion

1. 分解初速度

以初速 $v_0$、抛射角 $\theta$（相对水平）抛出：

$$v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$$

2. 两套方程

水平：

$$x = v_0\cos\theta \cdot t,\qquad v_x = v_0\cos\theta \;(\text{恒定})$$

竖直：

$$y = v_0\sin\theta\cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2,\qquad v_y = v_0\sin\theta - gt$$

3. 三个关键量

由 $v_y=0$ 得最高点时间 $t_{\text{up}}=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}$，于是：

$$H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

回到同一高度（$y=0$）时：

$$T = \frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R = v_0\cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$

4. 轨迹方程

从 $x$ 式解出 $t=\dfrac{x}{v_0\cos\theta}$，代入 $y$ 式消去时间：

$$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

这是一条开口向下的抛物线。凡是题目给"落点坐标"而不给时间的，直接用这个方程。

5. 三个常考结论

射程最大：$\sin 2\theta = 1$，即 $\theta = 45^\circ$，$R_{\max}=\dfrac{v_0^2}{g}$
互补角同射程：$\theta$ 与 $90^\circ-\theta$ 射程相同（但大角的飞行时间更长、高度更高）
速度对称：同一高度处速率相等，方向关于水平线对称

猴子与猎人：若枪口正对树上的猴子开枪，而猴子在枪响瞬间松手下落，子弹恰好击中猴子。原因是子弹与猴子在竖直方向都"少掉了 $\frac{1}{2}gt^2$"这一项，竖直位移的差恰好被抵消。

四、水平抛射（特殊的抛体）

初速度水平（$\theta=0$），从高 $h$ 处抛出：

$$h = \tfrac{1}{2}gt^2 \;\Longrightarrow\; t=\sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad x = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

竖直方向就是自由落体。这类题的核心是先用竖直方向求时间，再代入水平方向。

五、斜面上的抛体

两种处理方式，选一种即可：

方法 A：坐标旋转。把 $x$ 轴沿斜面、$y$ 轴垂直斜面，则

$$a_x = -g\sin\varphi,\qquad a_y = -g\cos\varphi$$

其中 $\varphi$ 是斜面倾角。注意此时两个方向都有加速度，"独立性"仍然成立，只是不再有匀速分量。

方法 B：轨迹方程联立。写出 $y(x)$，与斜面方程 $y = x\tan\varphi$ 联立求交点，交点横坐标即射程。

方法 B 更保险，不容易在角度上出错；方法 A 更快，但要清楚 $a_x\ne 0$。

六、例题 Worked Examples

例 1：标准斜抛

小球以 $v_0 = 25\ \mathrm{m/s}$、$\theta=53^\circ$ 抛出（$\sin53^\circ=0.80$，$\cos53^\circ=0.60$），$g=10\ \mathrm{m/s^2}$。求最大高度、飞行时间与射程。

解分解：

$$v_{0x}=25\times 0.60=15\ \mathrm{m/s},\qquad v_{0y}=25\times 0.80=20\ \mathrm{m/s}$$

$$H=\frac{20^2}{2\times 10}=20\ \mathrm{m}$$

$$T=\frac{2\times 20}{10}=4.0\ \mathrm{s}$$

$$R=v_{0x}T=15\times 4.0=60\ \mathrm{m}$$

例 2：水平抛射

从 $20\ \mathrm{m}$ 高的平台以 $8.0\ \mathrm{m/s}$ 水平抛出小球，求落地时间、水平射程与落地速度。

解竖直方向自由落体：

$$t=\sqrt{\frac{2\times 20}{10}}=2.0\ \mathrm{s}$$

$$x=8.0\times 2.0=16\ \mathrm{m}$$

落地时 $v_y = gt = 20\ \mathrm{m/s}$（向下），故

$$v=\sqrt{8.0^2+20^2}\approx 21.5\ \mathrm{m/s},\qquad \theta=\arctan\frac{20}{8.0}\approx 68^\circ\ \text{（低于水平）}$$

例 3：打在斜面上

倾角 $30^\circ$ 的斜面，从斜面底端以 $v_0=20\ \mathrm{m/s}$、与水平成 $60^\circ$ 抛出小球，求落点沿斜面到抛出点的距离（$g=10\ \mathrm{m/s^2}$）。

解用方法 B。轨迹方程：

$$y = x\tan 60^\circ - \frac{10x^2}{2(400)\cos^2 60^\circ} = 1.732x - 0.125x^2$$

斜面方程 $y = x\tan30^\circ = 0.577x$。令二者相等：

$$0.577x = 1.732x - 0.125x^2 \;\Longrightarrow\; x(0.125x - 1.155)=0$$

取非零解 $x = 9.24\ \mathrm{m}$。沿斜面距离：

$$s = \frac{x}{\cos30^\circ} = \frac{9.24}{0.866}\approx 10.7\ \mathrm{m}$$

七、常见失分点 Common Mistakes

角度取错：$\theta$ 必须相对水平，若题给"与斜面成 $\theta$"要换算
在最高点以为速度为零：只有 $v_y=0$，$v_x$ 仍然存在
落点不在同一高度却套 $R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$：这个公式只对"回到出发高度"成立
忘记两个方向共享同一个 $t$：分别求两个时间是最典型的错误
竖直方向漏掉负号：取向上为正时 $a_y=-g$，全程不能改

小结 Summary

二维运动 = 两个一维运动，用 $t$ 串起来
抛体：$x$ 匀速、$y$ 匀变速；$v_y=0$ 是最高点
三个公式：$H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$，$T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$，$R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$
给坐标不给时间 → 用轨迹方程
斜面上抛体：坐标旋转或联立轨迹方程

课后练习 Homework

以 $30\ \mathrm{m/s}$、$37^\circ$ 抛出，求 $t=2.0\ \mathrm{s}$ 时的位置与速度（$g=10\ \mathrm{m/s^2}$）。
证明：从高 $h$ 处以 $v_0$ 水平抛出，落地点与抛出点的水平距离为 $v_0\sqrt{2h/g}$，并讨论若 $h$ 加倍、$x$ 变为多少倍。
一球以 $v_0$、$\theta$ 抛出，要使其通过距抛出点水平距离 $d$、高 $h$ 的一点，求 $v_0$ 需满足的条件（提示：代入轨迹方程整理成关于 $\tan\theta$ 的二次方程）。