1.4 Relative Motion

AP Physics C: Mechanics · Unit 1 Kinematics

前面所有公式都默认"站在地面看"。这一节把观察者本身也变成变量：换个参考系，速度会变，加速度不一定变。

教学目标 Learning Outcomes

理解参考系的意义，区分"相对速度"与"绝对速度"
熟练使用 $\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$ 并正确判断下标顺序
解决一维相对运动（火车、传送带、雨中行走）
解决二维相对运动（渡河问题：最短时间 vs 最短路径）
理解相对加速度，为 Unit 2 的非惯性系与惯性力埋线

一、参考系 Frame of Reference

描述运动必须先选定参考系。同一个物体，在不同参考系中的位移、速度、轨迹都可能不同：

坐在匀速行驶的车里，看窗外掉落的雨滴是斜的
站在地面看同一滴雨，是竖直的

惯性系：牛顿定律成立的参考系。相对地面静止或匀速直线运动的参考系都可视为惯性系；加速的参考系不是（Unit 2 会处理）。

AP C 的题目几乎都默认地面为惯性系。题目一旦说"以车厢为参考系"，就要切换到相对速度的算法。

二、相对速度的矢量关系

设 $\vec{v}_A$、$\vec{v}_B$ 分别是 A、B 相对地面的速度，则 A 相对 B 的速度为

$$\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$$

三个等价写法（同一件事）：

$$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B \qquad \vec{v}_{A/G} = \vec{v}_{A/B} + \vec{v}_{B/G}$$

记法要点：下标从右往左读——"A relative to B"。减的是观察者的速度。

交换次序要变号：

$$\vec{v}_{B/A} = -\vec{v}_{A/B}$$

速记口诀："求谁减谁看，减掉观察者"。写错符号的题，八成是把自己减别人搞反了。

三、一维相对运动

一维时矢量退化为带符号的标量，直接代数相加即可。

例 1：两车同向

甲车 $25\ \mathrm{m/s}$ 向东，乙车 $15\ \mathrm{m/s}$ 向东。求乙看甲的速度。

解

$$v_{A/B} = 25 - 15 = +10\ \mathrm{m/s}$$

即甲相对乙以 $10\ \mathrm{m/s}$ 向东远离。

例 2：相向而行

甲 $20\ \mathrm{m/s}$ 向东，乙 $20\ \mathrm{m/s}$ 向西（取东为正，$v_B=-20$）：

$$v_{A/B} = 20 - (-20) = +40\ \mathrm{m/s}$$

接近速度是两者速率之和，这就是"相对速度可以超过 $c$"的经典错觉来源（实际需用相对论速度叠加，此处不涉及）。

四、二维相对运动：渡河问题

这是 AP C 最经典的二维相对运动模型。设定：

河宽 $d$，水流速度 $v$（沿岸方向）
船相对水的速度 $u$（船自身能力，方向可调）

船相对地面的速度：

$$\vec{v}_{\text{船/地}} = \vec{v}_{\text{船/水}} + \vec{v}_{\text{水/地}}$$

情形 1：最短时间

船头垂直指向对岸，此时船相对水的速度全部用于渡河：

$$t_{\min} = \frac{d}{u}$$

但水流会把船冲向下游，漂移距离

$$x = v\,t_{\min} = \frac{vd}{u}$$

注意：最短时间时船并没有垂直到达对岸，落点在下游。

情形 2：最短路径（垂直到达）

要让船相对地面的轨迹垂直河岸，必须逆流偏转，使水平分量抵消水流：

$$u\sin\theta = v \;\Longrightarrow\; \sin\theta = \frac{v}{u}$$

（$\theta$ 为船头偏离"垂直河岸"方向的角度，朝上游）

此时有效渡河速度

$$u_{\perp} = \sqrt{u^2 - v^2},\qquad t = \frac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}$$

前提：$u > v$。若 $u \le v$，船永远无法垂直到达，只能求"漂移最小"的解。

例 3：渡河计算

河宽 $d=100\ \mathrm{m}$，水流 $v=3.0\ \mathrm{m/s}$，船速 $u=5.0\ \mathrm{m/s}$。

(a) 最短时间

$$t = \frac{100}{5.0}=20\ \mathrm{s},\qquad \text{漂移} = 3.0\times 20 = 60\ \mathrm{m}$$

(b) 垂直到达

$$\sin\theta = \frac{3.0}{5.0}=0.60 \;\Rightarrow\; \theta = 37^\circ$$

$$u_{\perp}=\sqrt{25-9}=4.0\ \mathrm{m/s},\qquad t=\frac{100}{4.0}=25\ \mathrm{s}$$

对比：垂直到达要多花 $5\ \mathrm{s}$，但落点正对岸。

这两个问题问的是不同的最优目标："最短时间"和"最短路径"答案不同，读题时必须先看清问哪个。

五、相对加速度

对速度关系式求导：

$$\vec{a}_{A/B} = \vec{a}_A - \vec{a}_B$$

两个重要结论：

若 A、B 都相对地面做匀速运动，则 $\vec{a}_{A/B}=0$，二者互为惯性系，看对方都是匀速
若 B 有加速度，则 A 相对 B 的加速度等于二者加速度之差；在 B 系中观察 A，需要额外引入"惯性力"（Unit 2 展开）

伽利略变换的核心：$\vec{r}_{A/B}=\vec{r}_A-\vec{r}_B$ 对时间求导两次，速度、加速度都保持同样的线性关系。这也是经典力学中"所有惯性系平权"的数学表达。

六、例题 Worked Examples

例 4：雨中行走

雨滴相对地面竖直下落，速率 $10\ \mathrm{m/s}$。人以 $6.0\ \mathrm{m/s}$ 水平行走。求人看到的雨滴速度大小与方向。

解设雨为 A，人为 B：

$$\vec{v}_{\text{雨/人}} = \vec{v}_{\text{雨/地}} - \vec{v}_{\text{人/地}} = (0,-10) - (6,0) = (-6,-10)$$

$$|\vec{v}| = \sqrt{36+100}\approx 11.7\ \mathrm{m/s}$$

方向：相对竖直方向偏后，$\tan\alpha = \dfrac{6.0}{10}=0.60$，$\alpha\approx 31^\circ$。

这就是"下雨天走路为什么要把伞往前倾"的物理原因：走得越快，雨看起来越斜。

例 5：飞机侧风

飞机相对空气速度 $200\ \mathrm{km/h}$，要正北飞行，遇到 $50\ \mathrm{km/h}$ 的正东风。求机头应指向何方、地速多少。

解需要 $\vec{v}_{\text{机/气}}$ 的东分量抵消风速：

$$200\sin\theta = 50 \;\Rightarrow\; \sin\theta = 0.25,\quad \theta\approx 14.5^\circ\ \text{偏西}$$

$$v_{\text{地}} = \sqrt{200^2-50^2}\approx 194\ \mathrm{km/h}$$

与渡河问题完全同构。凡"自身速度 + 介质速度 → 合速度"的题，都是同一个模型。

七、常见失分点 Common Mistakes

下标顺序写反：$\vec{v}_{A/B}$ 减的是 B，不是 A
把"相对速度"当"合速度"用：渡河时船的实际速度是合速度，不是 $u$
最短时间与最短路径混淆：两者的船头方向不同
忘记 $u>v$ 的前提：船速小于水速时无法垂直渡河
在加速参考系里直接套牛顿定律：需要先转换到惯性系

小结 Summary

相对速度：$\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$，减观察者
一维直接代数加减，二维按分量分解
渡河：最短时间 $\frac{d}{u}$（船头垂直河岸）；垂直渡河 $\frac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}$（需 $u>v$）
相对加速度同样满足 $\vec{a}_{A/B}=\vec{a}_A-\vec{a}_B$
匀速参考系之间完全等价，加速参考系要引入惯性力

课后练习 Homework

甲以 $4.0\ \mathrm{m/s}$ 向北，乙以 $3.0\ \mathrm{m/s}$ 向东。求乙看甲的速度大小与方向。
河宽 $80\ \mathrm{m}$，水流 $2.0\ \mathrm{m/s}$，船速 $4.0\ \mathrm{m/s}$。分别求最短渡河时间与垂直到达所需时间。
若上题船速改为 $1.5\ \mathrm{m/s}$，船能否垂直到达对岸？说明理由，并求此时的最小漂移距离（提示：令漂移 $x=v t - u\sin\theta\cdot t$ 对 $\theta$ 求极值）。