7.1 Defining Simple Harmonic Motion

AP Physics C: Mechanics · Unit 7 Oscillations

前六个单元走的是"力 → 加速度 → 运动"的正向链条。这一章反过来：先锁定一种特殊的运动形式，再回头问"什么样的力才能造出它"。

教学目标 Learning Outcomes

说出 SHM 的判据 $a = -\omega^2 x$，并解释那个负号到底在说什么
从受力分析出发，判断一个系统是不是做简谐运动，并求出它的 $\omega$
写出 SHM 的微分方程，并验证 $x = A\cos(\omega t + \phi)$ 确实是它的解
区分"往复运动"（oscillation）与"简谐运动"（SHM）——这两者不是一回事
认出常见的 SHM 系统：弹簧振子、小角单摆、扭摆、浮体

一、振动的基本图景

任何一个振动系统都有三样东西：

概念	含义
Equilibrium position 平衡位置	合力为零、系统静止时停留的位置
Restoring force 回复力	一旦离开平衡位置，合力指向平衡位置的那部分
Amplitude 振幅 $A$	偏离平衡位置的最大距离

关键不在"来回动"，而在回复力怎么随位移变化。这正是 SHM 与一般振动的分水岭。

二、SHM 的定义

简谐运动的定义只有一行：

$$a = -\omega^2 x$$

拆成两句话读：

加速度的大小与位移成正比（$a \propto x$）
加速度的方向始终与位移相反（负号），也就是永远指向平衡位置

由 $F = ma$ 得到等价的受力形式：

$$F = -m\omega^2 x = -kx, \qquad k = m\omega^2$$

所以"合外力与位移成正比且反向"就是 SHM 的受力判据。

微分方程与通解

把 $a = \dfrac{d^2x}{dt^2}$ 代进去：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$

这是二阶线性常系数齐次方程，通解为

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

验证一下（这一步 AP 简答题真的会要你写）：

$$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$

$$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x \quad\checkmark$$

两个待定常数 $A$ 与 $\phi$ 由初始条件（$x_0$ 和 $v_0$）确定，$\omega$ 则由系统本身（$m$、$k$、$L$、$I$）决定。这个分工要记牢：

$\omega$ 属于系统，$A$ 与 $\phi$ 属于这次振动。

三、为什么弹簧振子一定是 SHM

水平光滑面上，质量 $m$ 连在劲度系数 $k$ 的弹簧上。取平衡位置为原点：

$$F = -kx \;\Longrightarrow\; a = -\frac{k}{m}x$$

对照定义 $a = -\omega^2 x$，立刻读出

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

竖直悬挂的情况：重力只是把平衡位置往下挪了 $x_0 = mg/k$，若以新平衡位置为原点，回复力仍然是 $-kx$，$\omega$ 完全不变。这是个高频陷阱——重力不改变周期。

四、判定一个系统是不是 SHM：五步流程

找平衡位置：令合力为零，解出 $x_{eq}$
设偏离量：令 $x$ 为相对平衡位置的位移（不是相对地面）
写合力：把所有力沿运动方向的分量加起来
线性化：遇到 $\sin\theta$、$(1+x)^n$ 之类，在小量下取一阶近似
对照 $F = -k_{\text{eff}}x$，读出 $k_{\text{eff}}$，得 $\omega = \sqrt{k_{\text{eff}}/m}$

只要第 5 步能写成那个形式，就是 SHM；写不成，就不是。

五、一个非弹簧的例子：浮体振动

截面积 $A$、质量 $m$ 的圆柱体浮在密度 $\rho$ 的液体中，平衡时浸没深度 $h$（$mg = \rho gAh$）。

把它往下压 $x$，多排开的液体体积为 $Ax$，浮力增量为 $\rho gAx$，方向向上（与位移相反）。以向下为正：

$$F = -\rho g A x$$

这就是标准的线性回复力，于是

$$\omega = \sqrt{\frac{\rho g A}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho g A}}$$

注意这里没有出现 $h$——浮体振动的周期与浸没深度无关。AP 很喜欢拿这个当"看起来该有关、其实无关"的考点。

六、反例：会往复，但不是 SHM

系统	为什么不是 SHM
大角度单摆	回复力是 $-mg\sin\theta$，不是 $\theta$ 的线性函数
$F = -\alpha x^3$ 的振子	往复但非线性，周期随振幅变化
有干摩擦的振子	振幅线性衰减，不是余弦
压缩到线圈相碰的弹簧	有效 $k$ 突变，分段线性

共同点：周期依赖振幅。SHM 的等时性（周期与振幅无关）正是"线性"带来的特权。

七、例题 Worked Examples

例 1：读参数

$k = 200\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧连接 $m = 0.50\ \mathrm{kg}$ 的滑块，在光滑水平面上振动。求 $\omega$、$T$、$f$。

解

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}, \qquad f = \frac{1}{T} \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$$

例 2：判断是否 SHM

某粒子受力 $F = -4x^3$（$x$ 以 m 计，$F$ 以 N 计）。它做的是简谐运动吗？

解不是。虽然力始终指向平衡位置、运动也是往复的，但 $F \propto x^3$ 不满足线性关系，$\omega$ 不是常数，周期会随振幅改变。只有当 $x$ 极小时 $x^3$ 可忽略、系统近似线性，才近似为 SHM。

例 3：由能量曲线判断

一维势能 $U(x) = \tfrac{1}{2}kx^2$（$k>0$）。证明小振动是 SHM 并求 $\omega$。

解由 $F = -\dfrac{dU}{dx} = -kx$，直接得到 $a = -\dfrac{k}{m}x$，故

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

推广：任何势能在极小值附近做泰勒展开，二次项系数就是 $k_{\text{eff}}$——这就是"小振动皆简谐"的来源。

八、AP 常见失分点 Common Mistakes

把"往复运动"当成 SHM：判据是 $a \propto -x$，不是"来回动"
位移取错原点：$x$ 必须是相对平衡位置的位移，不是相对地面或弹簧原长
忘记竖直弹簧的重力已被平衡位置吸收，误以为 $\omega$ 会变
$\omega$ 与 $f$ 混用：$\omega$ 单位是 rad/s，$f$ 是 Hz，差一个 $2\pi$
写解时漏掉 $\phi$：只有从最大位移处释放才能取 $\phi = 0$

小结 Summary

SHM 的定义：$a = -\omega^2 x$，等价于 $F = -kx$
微分方程 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$，解 $x = A\cos(\omega t + \phi)$
$\omega$ 由系统参数决定，$A$ 与 $\phi$ 由初始条件决定
弹簧振子 $\omega = \sqrt{k/m}$，与重力无关
判定流程：找平衡位置 → 写合力 → 线性化 → 对照 $-k_{\text{eff}}x$
非线性回复力 → 周期随振幅变化 → 不是 SHM

课后练习 Homework

一物块在光滑水平面上连于两个弹簧（$k_1$ 在左、$k_2$ 在右，均处于自然长度时物块在平衡位置）。证明 $\omega = \sqrt{(k_1+k_2)/m}$。
单摆摆长 $L$，摆角 $\theta$ 较大。写出精确的运动方程，并说明为什么 $\theta$ 增大时周期变长。
一质点势能 $U(x) = U_0(1-\cos x)$。求 $x = 0$ 附近小振动的 $\omega$（设质量 $m$）。