7.2 Frequency and Period of SHM

AP Physics C: Mechanics · Unit 7 Oscillations

7.1 讲的是"什么样的运动"，这一节讲"它有多快"。周期公式里没有振幅，这是 SHM 最反直觉、也最常被考的性质。

教学目标 Learning Outcomes

说清 $T$、$f$、$\omega$ 三者的关系，并在三种表示之间自由换算
掌握弹簧振子 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ 与单摆 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ 的来源
处理弹簧串联、并联以及双弹簧系统，求等效劲度系数
从 $T^2$–$m$ 图像反求 $k$
解释"周期与振幅无关"的适用条件，以及它为什么会失效

一、三个量的关系

量	符号	单位	含义
周期 Period	$T$	s	完成一次完整振动所需时间
频率 Frequency	$f$	Hz	每秒完成的振动次数
角频率 Angular frequency	$\omega$	rad/s	每秒走过的相位（弧度）

三者的换算关系：

$$f = \frac{1}{T}, \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

单位是检查自己有没有搞混的最好办法：$T$ 是"秒/次"，$f$ 是"次/秒"，$\omega$ 是"弧度/秒"。凡是算出 $T = 3.14\ \mathrm{s}$ 却写 $\omega = 3.14$ 的，基本都是把 $2\pi$ 丢了。

二、弹簧振子

由 7.1 已知 $\omega = \sqrt{k/m}$，于是

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

三个要点：

$m$ 越大，$T$ 越长：惯性大，来回一趟更慢
$k$ 越大，$T$ 越短：弹簧硬，回复力强，来回更快
与振幅 $A$ 无关：这就是 SHM 的等时性 isochronism

竖直弹簧的快捷算法

竖直悬挂时，若静止伸长量为 $x_0$，则 $kx_0 = mg$，即 $k/m = g/x_0$，于是

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$$

这条式子在做实验题时非常好用——只要量出静止伸长量，不必知道 $k$ 和 $m$ 各自是多少。

三、弹簧的组合

并联（两侧各一个，或同一侧并排）

两个弹簧同时作用于同一物体，位移相同、力相加：

$$k_{\text{eq}} = k_1 + k_2$$

注意：物块夹在两个弹簧中间（一个在左、一个在右）也属于这种情形。物块右移 $x$ 时，左弹簧拉伸 $x$ 拉回，右弹簧压缩 $x$ 也推回，两个力同向叠加，所以仍然是 $k_1 + k_2$。这是 AP 最爱设的陷阱之一。

串联（首尾相接）

两个弹簧串起来，受力相同、位移相加：

$$\frac{1}{k_{\text{eq}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad\Longrightarrow\quad k_{\text{eq}} = \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$

串联后变软，$k_{\text{eq}}$ 比任一个都小，周期变长。

四、单摆（简版，详细推导见 7.5）

小角度（$\theta \lesssim 10^\circ$）时 $\sin\theta \approx \theta$，得到

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

要点：

与摆球质量无关——这是伽利略的发现，也是"引力质量等于惯性质量"的一个侧面
与小角振幅无关（近似成立）；$\theta$ 超过约 $15^\circ$ 后周期明显变长
只与摆长 $L$ 和当地 $g$ 有关：$L$ 变为 4 倍，$T$ 变为 2 倍

五、从图像反求参数

实验里常画出 $T^2$ 对 $m$ 的图。由

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m$$

可知这是一条过原点的直线，斜率

$$\text{slope} = \frac{4\pi^2}{k} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{4\pi^2}{\text{slope}}$$

同理，$T^2$ 对 $L$ 作图（单摆）斜率是 $4\pi^2/g$，可反求 $g$。AP 实验题的标准套路：先平方，再线性化，最后读斜率。

六、例题 Worked Examples

例 1：静止伸长量法

一质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的物体挂在弹簧下端，静止时弹簧伸长 $0.10\ \mathrm{m}$。求 $k$ 与振动周期（$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$）。

解

$$k = \frac{mg}{x_0} = \frac{2.0 \times 9.8}{0.10} = 196\ \mathrm{N/m}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.10}{9.8}} \approx 2\pi(0.101) \approx 0.63\ \mathrm{s}$$

例 2：双弹簧

物块 $m$ 夹在两个弹簧之间，$k_1 = 100\ \mathrm{N/m}$、$k_2 = 300\ \mathrm{N/m}$，均处于自然长度。求振动周期。

解两弹簧位移相同、回复力同向叠加：

$$k_{\text{eq}} = 400\ \mathrm{N/m}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{400}}$$

若 $m = 1.0\ \mathrm{kg}$，则 $T = 2\pi\sqrt{1/400} = 2\pi(0.05) \approx 0.314\ \mathrm{s}$。

例 3：单摆换星球

摆长 $1.0\ \mathrm{m}$ 的单摆，在地球（$g = 9.8$）与月球（$g = 1.6$）上的周期各是多少？

解

$$T_{\text{Earth}} = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{9.8}} \approx 2.0\ \mathrm{s}, \qquad T_{\text{Moon}} = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{1.6}} \approx 5.0\ \mathrm{s}$$

$g$ 变小 → 回复力变弱 → 摆动变慢 → 周期变长。这是"周期只由系统参数决定"的直接体现。

七、AP 常见失分点 Common Mistakes

把 $\omega$ 当成 $f$：$\omega = 2\pi f$，差 6.28 倍
以为振幅变大周期也变大：线性 SHM 中周期与振幅严格无关
双弹簧系统一律相加：只有"位移相同、力同向"才相加；串联必须用倒数和
单摆用摆球质量参与计算：$T$ 与 $m$ 无关
大角度仍套 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$：超过约 $15^\circ$ 误差开始显著
竖直弹簧重新计算 $\omega$：重力只移动平衡位置，不改变周期

小结 Summary

$f = 1/T$，$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$
弹簧振子 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$；竖直时可用 $T = 2\pi\sqrt{x_0/g}$
并联 $k_{\text{eq}} = k_1+k_2$，串联 $1/k_{\text{eq}} = 1/k_1 + 1/k_2$
小角单摆 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$，与质量、小振幅无关
$T^2$–$m$ 图斜率 $= 4\pi^2/k$，可反求 $k$
等时性来自线性回复力；非线性系统周期随振幅变化

课后练习 Homework

一弹簧振子在地球上周期为 $T$。把它带到 $g$ 只有地球 $1/4$ 的星球上，周期变为多少？
两个相同弹簧（各 $k$）串联后挂质量 $m$，与单个弹簧挂 $m$ 相比，周期变为原来的几倍？
某学生测得 $T^2$–$m$ 图斜率为 $0.50\ \mathrm{s^2/kg}$，求弹簧劲度系数。