7.3 Representing and Analyzing SHM

AP Physics C: Mechanics · Unit 7 Oscillations

知道 $x = A\cos(\omega t + \phi)$ 只是起点。AP 真正考的是：给你一条曲线，你能不能把它读成方程；给你初始条件，你能不能定出相位。

教学目标 Learning Outcomes

写出 SHM 的位移、速度、加速度三式，并说明它们之间是逐次求导的关系
说清 $x$、$v$、$a$ 三条曲线的相位关系（$90^\circ$ 与 $180^\circ$）
由初始条件（$x_0$、$v_0$）定出振幅 $A$ 与初相 $\phi$
记住 $v_{\max} = A\omega$、$a_{\max} = A\omega^2$，并会用 $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$
从 $x$–$t$、$v$–$t$、$a$–$t$ 图像中读出 $A$、$T$、$\phi$

一、三式与逐次求导

以余弦形式为基准：

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$$

三式合起来看，得到两个极值：

$$v_{\max} = A\omega, \qquad a_{\max} = A\omega^2$$

注意 $v_{\max}$ 出现在 $x = 0$（过平衡位置时最快），$a_{\max}$ 出现在 $x = \pm A$（到端点时加速度最大、速度为零）。这两个"错位"是图像题的核心。

二、相位关系

比较	相位差	说法
$v$ 与 $x$	$90^\circ$（$\pi/2$）	$v$ 领先 $x$ 四分之一周期
$a$ 与 $x$	$180^\circ$（$\pi$）	恰好反相
$a$ 与 $v$	$90^\circ$	$a$ 领先 $v$ 四分之一周期

用时间说更直观：$x$ 达到最大后，再过 $T/4$ 速度才达到最大（且方向相反），再过 $T/4$ 加速度才达到最大（与 $x$ 反号）。

常见错法：看到 $x$–$t$ 曲线是余弦，就默认 $v$–$t$ 也是余弦、只是振幅不同。求导会同时改变函数形式和符号，这一点必须亲手推一遍。

三、定振幅与初相

设 $t = 0$ 时 $x = x_0$、$v = v_0$。代入三式：

$$x_0 = A\cos\phi, \qquad v_0 = -A\omega\sin\phi$$

两式平方相加（用 $\sin^2+\cos^2=1$）：

$$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$$

两式相除：

$$\tan\phi = -\frac{v_0}{\omega x_0}$$

$\tan$ 只能定到相差 $\pi$ 的两个角，还要用 $x_0$ 的符号（$\cos\phi$ 的符号）挑出正确的那一个。

三种最常见的初始情形

初始状态	$\phi$	方程
$t=0$ 时在 $+A$ 处静止释放	$0$	$x = A\cos\omega t$
$t=0$ 时在 $-A$ 处静止释放	$\pi$	$x = -A\cos\omega t$
$t=0$ 时过平衡位置向 $+x$ 运动	$-\pi/2$	$x = A\sin\omega t$
$t=0$ 时过平衡位置向 $-x$ 运动	$+\pi/2$	$x = -A\sin\omega t$

四、速度与位置的关系

把 $x = A\cos\theta$、$v = -A\omega\sin\theta$ 消去 $\theta$：

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = 1$$

$$v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

这条式子在"已知位置求速度"的题目里比联立时间方程快得多。它也说明：$v$–$x$ 图是一个椭圆，而 $v^2$–$x^2$ 图是一条直线（斜率 $-\omega^2$，截距 $A^2\omega^2$）——AP 实验题常让学生这样线性化。

五、参考圆（phasor）视角

把 SHM 看成"一个匀速圆周运动在直径上的投影"：

半径 = 振幅 $A$
角速度 = $\omega$
转过角度 = 相位 $\omega t + \phi$

投影到 $x$ 轴得 $A\cos(\omega t+\phi)$，投影到 $y$ 轴得 $A\sin(\omega t+\phi)$。用它判断"什么时候第一次经过某位置"特别省事：把相位补齐到目标角度，再除以 $\omega$。

六、例题 Worked Examples

例 1：读方程

$$x = 0.10\cos\!\left(4\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\ \mathrm{(m)}$$

求 $A$、$T$、$f$、$x(0)$、$v(0)$、$v_{\max}$、$a_{\max}$。

解对照标准式，$A = 0.10\ \mathrm{m}$，$\omega = 4\pi\ \mathrm{rad/s}$：

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 0.50\ \mathrm{s}, \qquad f = 2.0\ \mathrm{Hz}$$

$$x(0) = 0.10\cos\frac{\pi}{3} = 0.050\ \mathrm{m}$$

$$v(0) = -A\omega\sin\frac{\pi}{3} = -(0.10)(4\pi)(0.866) \approx -1.1\ \mathrm{m/s}$$

$$v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 4\pi \approx 1.26\ \mathrm{m/s}$$

$$a_{\max} = A\omega^2 = 0.10 \times 16\pi^2 \approx 15.8\ \mathrm{m/s^2}$$

例 2：由初始条件写方程

$k = 100\ \mathrm{N/m}$，$m = 0.25\ \mathrm{kg}$。$t=0$ 时物体在 $x = 0.10\ \mathrm{m}$ 处，速度为零。写出 $x(t)$。

解

$$\omega = \sqrt{\frac{100}{0.25}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

从正方向最大位移处静止释放 → $\phi = 0$，$A = 0.10\ \mathrm{m}$：

$$x(t) = 0.10\cos(20t)\ \mathrm{(m)}$$

若改为"过平衡位置向 $+x$ 运动"，则 $A = 0.10$、$\phi = -\pi/2$，即 $x = 0.10\sin(20t)$。

例 3：第一次到达某位置

接例 1，求从 $t=0$ 起第一次经过 $x = 0$ 的时刻。

解令 $\cos(4\pi t + \pi/3) = 0$，需相位为 $\pi/2$：

$$4\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \;\Rightarrow\; 4\pi t = \frac{\pi}{6} \;\Rightarrow\; t = \frac{1}{24}\ \mathrm{s} \approx 0.042\ \mathrm{s}$$

七、AP 常见失分点 Common Mistakes

求导时丢负号：$v = -A\omega\sin(\omega t+\phi)$，那个负号不能省
把 $\phi$ 当成"位移"：$\phi$ 是相位，单位是弧度，不是米
$\tan\phi$ 定出后不验象限：必须用 $x_0$ 的符号复核
认为 $a$ 与 $v$ 同时达到最大：二者相差 $T/4$
在端点处写 $v = A\omega$：端点速度为零，$v_{\max}$ 只在平衡位置出现
角度与弧度混用：$\omega t$ 中的 $t$ 用秒，结果自动是弧度

小结 Summary

$x = A\cos(\omega t+\phi)$，$v$、$a$ 由逐次求导得到
$v_{\max} = A\omega$（在 $x=0$），$a_{\max} = A\omega^2$（在 $x=\pm A$）
$v$ 领先 $x$ 相位 $90^\circ$，$a$ 与 $x$ 反相 $180^\circ$
$A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$，$\tan\phi = -v_0/(\omega x_0)$
$v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$，$v^2$–$x^2$ 为直线
参考圆把"求时间"变成"补角度再除以 $\omega$"

课后练习 Homework

$x = 0.20\cos(10t - \pi/4)$（m）。求 $t = 0$ 时的位置、速度、加速度，以及第一次达到最大速度的时刻。
一振子 $A = 0.15\ \mathrm{m}$、$T = 0.40\ \mathrm{s}$。求 $x = 0.10\ \mathrm{m}$ 时的速率。
某 $x$–$t$ 图像在 $t=0$ 处位于正最大位移，周期 $0.80\ \mathrm{s}$，振幅 $5.0\ \mathrm{cm}$。写出 $x(t)$、$v(t)$，并画出 $v$–$t$ 草图说明相位关系。